转动惯量¶
概述¶
转动惯量（Moment of inertia）又称为“惯性矩”，是描述物体旋转运动时惯性大小的物理量
对于定轴转动，转动惯量为一个标量，习惯上用符号 \(J\) 表示，其国际标准单位为 千克 \(\cdot\) 米\(^2\) \(\rb{\mr{kg \cdot m^{2}}}\)
转动惯量取决于刚体的形状、质量分布以及转轴的位置，而与转动状态（如角速度、角加速度等）无关
计算规则¶
类似于质量，刚体的转动惯量也具有可加性。也就是说，一个刚体的转动惯量等于组成该刚体的各个部分的转动惯量之和
单个质点的转动惯量¶
单个质点转动惯量
如上图所示，质量为 \(m\) 的质点，到转轴的距离为 \(r\)，则它关于此转轴的转动惯量
\[
J = m \tm r^2
\]
质点系的转动惯量¶
由 \(N\) 个分立质点组成的质点系（质点的编号为 \(1,2,\cdots N\)），绕同一个轴转动时，其转动惯量
\[
J = \sum_{i=1}^N m_i \tm r_i^2
\]
其中，\(m_i\) 为第 \(i\) 个质点的质量，\(r_i\) 为第 \(i\) 个质点到转轴的距离
连续分布物体转动惯量¶
连续分布物体的密度为 \(\rho\)，体积元 \(\d{v}\) 到转轴的距离为 \(r\)，则连续分布物体的转动惯量
\[
J = \int_V \rho \tm r^2 \,\d{v}
\tag{1}\label{eq:micdo}
% The moment of inertia of a continuously distributed object
\]
其中，\(\rho\) 为位置的函数，积分区域 \(V\) 为该物体占据的空间
公式 \(\eqref{eq:micdo}\) 的推导过程见 附录 \(\blacktriangleright\) 连续分布物体转动惯量推导
典型物体的转动惯量¶
细杆¶
如下图所示，均质细杆的长度为 \(L\)，质量为 \(m\)，绕垂直于细杆的轴转动，该转轴到细杆两个端点的距离分别为 \(r\) 和 \(L-r\)
细杆转动惯量
细杆绕该转轴转动的转动惯量
\[
J = \frac{m}{3L} \sb{ r^3 + \rb{L-r}^3 }
\tag{2}\label{eq:mitr}
% The moment of inertia of a thin rod
\]
当 \(r = L/2\) 时，细杆绕中点转动，\(\displaystyle I = \frac{mL^2}{12}\)
当 \(r = 0\) 或 \(L\) 时，细杆绕端点转动，\(\displaystyle I = \frac{mL^2}{3}\)
公式 \(\eqref{eq:mitr}\) 的推导过程见 附录 \(\blacktriangleright\) 均质细杆转动惯量推导
细圆环¶
如下图所示，均质细圆环的半径为 \(R\)，质量为 \(m\)，绕垂直于环面且通过环心的轴转动
细圆环绕垂直于环面且通过环心轴的转动惯量
其转动惯量
\[
J = m R^2
\tag{3}\label{eq:micr1}
% The moment of inertia of a thin circular ring
\]
如下图所示，均质细圆环的半径为 \(R\)，质量为 \(m\)，绕垂直于环面且通过环心的轴转动
细圆环绕垂直于环面且通过环心轴的转动惯量
其转动惯量
\[
J = {m R^2 \over 2}
\tag{4}\label{eq:micr2}
% The moment of inertia of a thin circular ring
\]
公式 \(\eqref{eq:micr1}\) 和 \(\eqref{eq:micr2}\) 的推导过程见 附录 \(\blacktriangleright\) 均质细圆环转动惯量推导
圆筒¶
如下图所示，均质圆筒的内径为 \(r_1\)，外径为 \(r_2\)，高度为 \(h\)，质量为 \(m\)，绕中心轴转动
细圆环绕垂直于环面且通过环心轴的转动惯量
其转动惯量
\[
J = \frac{m}{2} \rb{r_1^2 + r_2^2}
\tag{5}\label{eq:mihc}
% The moment of inertia of a hollow cylinder
\]
公式 \(\eqref{eq:mihc}\) 的推导过程见 附录 \(\blacktriangleright\) 均质圆筒转动惯量推导
圆柱和圆盘¶
圆柱可以看作没有孔洞的圆筒，也就是 \(r_1 = 0\)
设圆柱的半径为 \(R\)（对应圆筒的外径 \(r_2\)），高度为 \(h\)，质量为 \(m\)，根据圆筒的转动惯量公式 \(\eqref{eq:mihc}\)，圆柱的转动惯量
\[
J = \frac{m}{2} R^2
\tag{6}\label{eq:mic}
% The moment of inertia of a cylinder
\]
圆盘可以看作高度非常小的圆柱，设圆盘的半径为 \(R\)，质量为 \(m\)，由于圆柱的转动惯量公式中不包含 \(h\)，故圆盘的转动惯量就是圆柱的转动惯量 \(\eqref{eq:mic}\)
球壳¶
如下图所示，半径为 \(R\)，质量为 \(m\) 的均质薄球壳，绕通过球心的轴转动
薄球壳转动惯量
其转动惯量
\[
J = \frac{2}{3} m R^2
\tag{7}\label{eq:miss}
% moment of inertia of a spherical shell
\]
公式 \(\eqref{eq:miss}\) 的推导过程见 附录 \(\blacktriangleright\) 均质薄球壳转动惯量推导
球体¶
如下图所示，半径为 \(R\)，质量为 \(m\) 的均质球体，绕通过球心的轴转动
球体转动惯量
其转动惯量
\[
J = \frac{2}{5} m R^2
\tag{8}\label{eq:miss2}
% moment of inertia of a solid sphere
\]
公式 \(\eqref{eq:miss2}\) 的推导过程见 附录 \(\blacktriangleright\) 均质球体转动惯量推导
重要定理¶
可加性定理¶
若一个刚体由若干部分组成，则该刚体绕某转轴的总转动惯量等于各部分绕该轴的转动惯量之和
公式表述
对于由 \(m\) 个子部件组成的复合刚体，其绕某固定轴的总转动惯量
\[
J = \sum_{k=1}^m J_k
\tag{10}\label{eq:additivity}
\]
其中，\(J_k\) 为第 \(k\) 个子部件绕该轴的转动惯量
\(\eqref{eq:additivity}\) 式的说明
将包含 \(N\) 个质点的集合划分为 \(m\) 个子集，每个子集中的质点数分别为 \(n_1,\ n_2,\ \cdots,\ n_m\)（\(N = n_1 + n_2 + \cdots + n_m\)），求和对全部质点与对各子集求和再相加等价，即
\[
J = \sum_{i=1}^N m_i \tm r_i^2
= \sum_{k=1}^m \rb{\sum_{i=1}^{n_k} m_i \tm r_i^2}
\]
其中，\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n_k} m_i \tm r_i^2\) 表示第 \(k\) 个子集中质点的转动惯量之和，记为 \(J_k\)
平行轴定理¶
平行轴定理（Parallel Axis Theorem），也称“惠更斯 – 斯坦纳定理”（Huygens–Steiner Theorem），描述刚体绕通过质心转轴的转动惯量与绕任意与质心轴平行的轴的转动惯量之间的关系
平行轴定理指出
刚体绕任意平行轴的转动惯量，等于绕质心轴转动惯量加上质量乘以两轴间距离的平方
刚体绕通过质心轴的转动惯量是所有平行轴中最小的
公式表述
平行轴定理
如上图所示，刚体绕通过质心转轴的转动惯量为 \(J_\mr{c}\)，绕任意平行轴的转动惯量为 \(J\)，质量为 \(m\)，两轴间的距离为 \(d\)，则有
\[
J = J_\mr{c} + m d^2
\tag{9} \label{eq:parallel-axis}
\]
公式 \(\eqref{eq:parallel-axis}\) 的推导过程见 附录 \(\blacktriangleright\) 平行轴定理的证明